Algebraische Geometrie ist die Verbindung von Algebra mit Geometrie. Algebraische Varietäten sind die geometrischen Objekte: Polynomiale Gleichungen bestimmen Teilmengen affiner Räume über beliebigen Körpern. Die algebraischen Objekte sind Ringe. Zu Varietäten gehören Ringe von Funktionen; zu Ringen definiert man Spektren, die als Verallgemeinerung der Varietäten gesehen werden. Spektren sind ein entscheidendes Bindeglied zwischen Algebra und Geometrie.
Es gibt viele verschiedene Ausprägungen algebraischer Geometrie, je nachdem auf welche Klasse von Körpern man sich bezieht. Reelle algebraische Geometrie befasst sich mit Varietäten über angeordneten, insbesondere reell abgeschlossenen Körpern. Die Anordnung ermöglicht es, Mengen nicht nur mittels Gleichungen, sondern auch durch Ungleichungen zu definieren – das Ergebnis sind semi-algebraische Mengen, eine viel größere Klasse von Mengen als die Varietäten. Die Funktionenringe tragen teilweise Ordnungen. Teilweise geordnete Ringe sind grundlegende algebraische Objekte im Kontext der reellen Geometrie.
Es gibt verschiedene Spektren: In der allgemeinen algebraischen Geometrie ist das Primspektrum oder Zariski-Spektrum eines Ringes am wichtigsten, in der reellen Geometrie ist das reelle Spektrum von ebenso großer Bedeutung. Die Elemente des Primspektrums sind die Primideale eines Ringes; die Elemente des reellen Spektrums sind die Primkegel. Die Trägerabbildung verbindet beide Spektren miteinander: Jedem Primkegel wird dessen Träger, ein Primideal, zugeordnet.
Im Projekt werden beide Spektren und ihre Verbindungen miteinander studiert:
Genau dieselben Fragen über das reelle Spektrum teilweise geordneter Ringe sind nicht sinnvoll – reelle Spektren sind immer vollständig normal. Aber:
Wenn ein (teilweise geordneter) Ring mittels einer ringtheoretischen Konstruktion verändert wird, ändern sich auch die mit dem Ring verbundenen Spektren.
Die Bildung konvexer Unterringe ist eine besonders wichtige und natürliche Konstruktion bei teilweise geordneten Ringen:
Spektren sind ein algebraisches Konstrukt, werden aber geometrisch interpretiert. Es ist eine anspruchsvolle Aufgabe die Geometrie von Spektren zu studieren, etwa indem man Methoden der algebraischen Topologie passend umgestaltet. Man muß dafür nicht nur festlegen, mit welchen Spektren man sich befassen will, sondern auch welche Abbildungen zwischen den Spektren verwendet werden sollen. Wenn es um reelle Spektren geht, hat man eine große Wahl von verschiedenen Kategorien, die alle dieselben Objekte haben, aber unterschiedliche Abbildungen. Für topologische Studien besonders geeignet sind die reell abgeschlossenen Räume – das sind Teilmengen reeller Spektren mit einer Strukturgarbe reell abgeschlossener Ringe.
Eine für die intendierten Anwendungen ausreichende Allgemeinheit und der Bezug zu semi-algebraischen Mengen in der ursprünglich geometrischen Bedeutung müssen besonders beachtet werden. Kategorientheoretische Methoden spielen in der algebraischen Topologie eine große Rolle, insofern müssen die Eigenschaften der Kategorie reell abgeschlossener Räume für die Anwendung möglichst genau bekannt sein.
Die Fragestellungen beschreiben Forschungsrichtungen, die Gegenstand des Projektes sind. Sie reichen jedoch über das Projekt hinaus und sollen auch nach dessen Ende weiter bearbeitet werden.
Das Projekt wird in enger Kooperation mit der Arbeitsgruppe aus der reellen algebraischen Geometrie an der Universität Regensburg bearbeitet. Ein wesentlicher Bestandteil des Projektes ist ein (während der Vorlesungszeit) wöchentliches gemeinsames Seminar beider Gruppen, das in Passau und Regensburg stattfindet.
Dr. Peter Ullrich (TU München):
Temperierte Distributionen auf semialgebraischen Mengen und das charakteristische Cauchy-Problem
Dr. Peter Ullrich (TU München):
Temperierte Distributionen auf semialgebraischen Mengen und das charakteristische Cauchy-Problem II
Dr. Peter Ullrich (TU München):
Temperierte Distributionen auf semialgebraischen Mengen und das charakteristische Cauchy-Problem III
Prof. Dr. Manfred Knebusch:
Positiv definite Kerne
Prof. Dr. Manfred Knebusch:
Definite Kerne
Prof. Dr. Manfred Knebusch:
Lösung des Momentenproblems bei kompaktem Träger
Doris Augustin:
Representations of nonnegative polynomials - geometric situation
Prof. Dr. Konrad Schmüdgen (Universität Leipzig):
Algebren von Brüchen und einige Überlegungen zur nichtkommutativen reellen algebraischen Geometrie und Positivstellensätzen
Tamara Servi:
Conjectures on the decidability of the real exponential field
Dr. Ya'acov Peterzil (University of Haifa, Israel):
Semibounded sets
Gisèle Fischer Servi (Università di Parma, Italien):
On non-monotonic logics
Dr. Igor Klep (Univerza v Ljubljana, Slowenien):
Positive Matrizenpolynome
Thomas Güldenberg:
Spracherweiterungen bei reell abgeschlossenen Körper durch Dedekindschnitte
Prof. Manfred Knebusch:
Nichtnegativteiler und positiv dichte Mengen
Jose Capco:
Real Sheaf Structures of Partially Ordered Rings
Dr. Lars Brünjes:
Nonstandard Varieties
Dr. Timothy Mellor:
Hardy fields and asymptotic couples
Tobias Kaiser:
Reell abgeschlossene graduierte Körper
Dr. Piotr Kowalski (University of Oxford):
Strongly minimal structures definable in o-minimal fields
Prof. Niels Schwartz
Primspektren
Dr. Markus Schweighofer (Universität Konstanz):
Connes' Einbettungsproblem und Summen von Hermiteschen Quadraten
Dr. Pawel Goldstein (Universität Erlangen):
Stratification of gradient flow of a harmonic function
Prof. Niels Schwartz:
SV-Ringe: Ringen, deren integre Faktorringe Bewertungsringe sind
Doris Augustin:
Das Membership-Problem für Präordnungen - der eindimensionale Falle
Dr. Timothy Mellor:
Model-theoretical framework for topological structures
Prof. Niels Schwartz:
Konvexe Unterringe und konvexe Erweiterungen I
Prof. Hans Delfs (FH Nürnberg):
Interaktive Beweise und Informationssicherheit
Dr. Nicolas Guzy (Université de Mons-Hainaut):
Topological differential fields
Prof. Niels Schwartz:
Konvexe Unterringe und konvexe Erweiterungen II
Prof. Niels Schwartz:
Konvexe Unterringe und konvexe Erweiterungen III
Dr. Tobias Kaiser:
Tropische Geometrie I
Dr. Tobias Kaiser:
Tropische Geometrie II
Dr. Tobias Kaiser:
Tropische Geometrie III
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonale Polynome und das Momenten Problem
Doris Augustin (Universität Regensburg):
Erben von Präordnungen
Thomas Güldenberg (Universität Regensburg):
Erben von Präordnungen
Timothy Mellor (Universität Passau):
Definitionskörper von Präordnungen
Markus Schweighofer (Universität Konstanz):
Stabilität quadratischer Moduln und das Momentenproblem
Tim Netzer (Universität Konstanz):
Stabilität bezüglich Graduierungen
Daniel Plaumann (Universität Konstanz):
Geometrische Konstruktionen zur Stabilität
Thomas Güldenberg:
Erben von Delta-Typen
Dr. Tamara Servi:
On the first order theory of real exponentiation
Dr. Antongiulio Fornasiero (Universita' di Pisa):
O-minimal spectrum
Prof. Niels Schwartz:
Reell abgeschlossene Bewertungsringe
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonalpolynome I
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonalpolynome II
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonalpolynome III
Prof. Angus Macintyre (Queen Mary University of London):
Model theory and decidability for exponentials on various Lie algebras
Doris Augustin:
Lokal-Global-Prinzipien und Positivitätsteiler
Dr.Marcus Tressl:
p-adisch abgeschlossene Ringe
Prof. Manfred Knebusch:
Sternoperationen und Kroneckererweiterungen
Prof. Manfred Knebusch:
Sternoperationen und Kroneckererweiterungen II
Dr. Timothy Mellor:
Proving that categories are never elementary
Dr. Vincent Astier:
Generische Zerfällung für spezielle Gruppen
Dr. Tamara Servi:
Definably complete and Baire structures
