Professur für Angewandte Mathematik

Was für eine Karriere: Jean Baptist Josef Fourier war ein kluger Kopf und lebte mitten in der französischen Revolution: Er wurde zwei Mal verhaftet, wurde Inhaber eines Lehrstuhls für Analysis und Mechanik, und war schließlich wissenschaftlicher Berater Napoleons.
In der Mathematik und in den Ingenieurwissenschaften spielen heute Fouriers Ideen eine wesentliche Rolle. Mit der sogenannten Fourier-Transformation kann man Signale, Messungen, Bilddaten in das Spektrum, also in ihre sehr gut interpretierbaren Frequenz-Anteile zerlegen. Damals waren Fouriers Techniken unter den Forschern umstritten, weil mathematische Fragen offen waren.
Im Vortrag klären wir: Welche genau waren Fouriers grundlegende Ideen? Was waren die mathematischen Schwierigkeiten und wie wurden sie gelöst? Und was hat das mit unserer modernen Welt, insbesondere mit dem Mobiltelefon zu tun?
 

 

Hierzu lade ich Sie sehr herzlich ein!

Beste Grüße,
Brigitte Forster

In 1946, Dennis Gabor introduced the analytic signal  for real-valued signals f. Here, H is the Hilbert transform. This complexification of functions allows for an analysis of their amplitude and phase information and has ever since given well-interpretable insight into the properties of the signals over time. The idea of complexification has been reconsidered with regard to many aspects: examples are the dual tree complex wavelet transform, or via the Riesz transform and the monogenic signal, that is, a multi-dimensional version of the Hilbert transform, which in combination with multi-resolution approaches leads to Riesz wavelets, and others. In this context, we ask two questions:

• - Which pairs of real orthonormal bases (ONBs), Riesz bases, frames and Parseval frames  and  can be “rebricked” to complex-valued ones ?
• - And which real operators A allow for rebricking via the ansatz ?

 

In this short note, we give answers to these questions with regard to a characterization which linear operators A are suitable for rebricking while maintaining the structure of the original real valued family. Surprisingly, the Hilbert transform is not among them.