Period: 04/2019 - 03/2021
Project Title: Robust stabilization of interconnected infinite-dimensional systems with boundary couplings
Funding: German Research Foundation (DFG)
Project leader: Dr. Andrii Mironchenko

Moderne Anwendungen der Kontrolltheorie für chemische Reaktoren, Verkehrsnetzwerke, Mehrkörpersysteme (z. B. Roboterarme, flexible Elemente in Flugzeugen), Fluid-Struktur-Kopplungen usw. erfordern Verfahren zur robusten Stabilisierung gekoppelter heterogener Systeme, beschrieben durch partielle Differentialgleichungen (PDGL). Nicht nur die Komplexität solcher Systeme sondern auch der Zwang, Kontrollen nur an dem Rand des Gebiets anzuwenden und die Notwendigkeit, Effizienz und Zuverlässigkeit eines Kontrolldesigns trotz Aktuator- und Beobachtungsfehlern sowie externer Störungen zu gewährleisten, machen die Stabilisierung gekoppelter PDGL zu einem besonders anspruchsvollen Problem. Um dieses Problem anzugehen, stützen wir uns auf die Theorie der Eingangs-Zustands Stabilität (Engl. input-to-state stability, ISS), die eine herausragende Rolle in der robusten nichtlinearen Kontrolltheorie spielt. ISS vereinheitlicht die Begriffe der gleichmäßigen asymptotischen Stabilität und externen (Engl. Input-Output) Stabilität und bietet effiziente Methoden, um die Stabilität gekoppelter nichtlinearer Kontrollsysteme mittels Lyapunov und Small-Gain-Methoden zu untersuchen. Die ISS-Theorie unendlichdimensionaler Systeme hat sich in den letzten fünf Jahren zu einer starken interdisziplinären Theorie entwickelt, die auf den Methoden der nichtlinearen Systemtheorie, partieller Differentialgleichungen und Operator- und Halbgruppentheorien basiert. In diesem Projekt entwickeln wir die Werkzeuge für den systematischen Entwurf robuster Randrückkopplungsregler (Engl. boundary feedback controllers) für lineare und nichtlineare PDGL und für Kopplungen heterogener verteilter Parametersysteme mit Randkopplungen. Dies wird durch die Synergie der ISS-Theorie für Systeme mit verteilten Parametern mit den Methoden für den Entwurf der Randregler für PDGL erreicht. Zunächst verbessern wir radikal die verfügbaren Werkzeuge für die ISS-Analyse von PDGL mit Randsteuerungen und von Zeitverzögerungssystemen. Wir erweitern dazu die Anwendbarkeit klassischer Lyapunov- und Lyapunov-Krasovskii-Methoden. Darüber hinaus entwickeln wir eine brandneue Methodik der nicht-koerziven Lyapunov-Funktionen und wenden Methoden monotoner Kontrollsysteme an. Wir wenden unsere Ergebnisse auf mehrere wichtige Klassen nichtlinearer PDGL an, wie z.B. parabolische Gleichungen mit nichtlinearen Randbedingungen, hyperbolische Systeme und KdV-Gleichung. Als nächstes kombinieren wir die entwickelte ISS-Lyapunov-Theorie für Systeme mit Randeingängen mit Methoden zum Entwurf von Randreglern für PDGL-Systeme, vor allem mit dem Verfahren des PDE-Backstepping. Schließlich kombinieren wir die erzielten Ergebnisse mit Small-Gain- Paradigma, um die Frage der robusten Stabilisierung gekoppelter heterogener Systeme zu untersuchen, insbesondere für Kopplungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen und Kopplungen von Zeitverzögerungsgleichungen und PDGL.