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Fakultät Lehrstühle, Professuren und Fachgebiete der FIM Algebraische Geometrie Projekte Aktuelle Projekte
Algebraische Geometrie ist die Verbindung von Algebra mit Geometrie. Algebraische Varietäten sind die geometrischen Objekte: Polynomiale Gleichungen bestimmen Teilmengen affiner Räume über beliebigen Körpern. Die algebraischen Objekte sind Ringe. Zu Varietäten gehören Ringe von Funktionen; zu Ringen definiert man Spektren, die als Verallgemeinerung der Varietäten gesehen werden. Spektren sind ein entscheidendes Bindeglied zwischen Algebra und Geometrie.
Es gibt viele verschiedene Ausprägungen algebraischer Geometrie, je nachdem auf welche Klasse von Körpern man sich bezieht. Reelle algebraische Geometrie befasst sich mit Varietäten über angeordneten, insbesondere reell abgeschlossenen Körpern. Die Anordnung ermöglicht es, Mengen nicht nur mittels Gleichungen, sondern auch durch Ungleichungen zu definieren – das Ergebnis sind semi-algebraische Mengen, eine viel größere Klasse von Mengen als die Varietäten. Die Funktionenringe tragen teilweise Ordnungen. Teilweise geordnete Ringe sind grundlegende algebraische Objekte im Kontext der reellen Geometrie.
Es gibt verschiedene Spektren: In der allgemeinen algebraischen Geometrie ist das Primspektrum oder Zariski-Spektrum eines Ringes am wichtigsten, in der reellen Geometrie ist das reelle Spektrum von ebenso großer Bedeutung. Die Elemente des Primspektrums sind die Primideale eines Ringes; die Elemente des reellen Spektrums sind die Primkegel. Die Trägerabbildung verbindet beide Spektren miteinander: Jedem Primkegel wird dessen Träger, ein Primideal, zugeordnet.
Im Projekt werden beide Spektren und ihre Verbindungen miteinander studiert:
Genau dieselben Fragen über das reelle Spektrum teilweise geordneter Ringe sind nicht sinnvoll – reelle Spektren sind immer vollständig normal. Aber:
Wenn ein (teilweise geordneter) Ring mittels einer ringtheoretischen Konstruktion verändert wird, ändern sich auch die mit dem Ring verbundenen Spektren.
Die Bildung konvexer Unterringe ist eine besonders wichtige und natürliche Konstruktion bei teilweise geordneten Ringen:
Spektren sind ein algebraisches Konstrukt, werden aber geometrisch interpretiert. Es ist eine anspruchsvolle Aufgabe die Geometrie von Spektren zu studieren, etwa indem man Methoden der algebraischen Topologie passend umgestaltet. Man muß dafür nicht nur festlegen, mit welchen Spektren man sich befassen will, sondern auch welche Abbildungen zwischen den Spektren verwendet werden sollen. Wenn es um reelle Spektren geht, hat man eine große Wahl von verschiedenen Kategorien, die alle dieselben Objekte haben, aber unterschiedliche Abbildungen. Für topologische Studien besonders geeignet sind die reell abgeschlossenen Räume – das sind Teilmengen reeller Spektren mit einer Strukturgarbe reell abgeschlossener Ringe.
Eine für die intendierten Anwendungen ausreichende Allgemeinheit und der Bezug zu semi-algebraischen Mengen in der ursprünglich geometrischen Bedeutung müssen besonders beachtet werden. Kategorientheoretische Methoden spielen in der algebraischen Topologie eine große Rolle, insofern müssen die Eigenschaften der Kategorie reell abgeschlossener Räume für die Anwendung möglichst genau bekannt sein.
Die Fragestellungen beschreiben Forschungsrichtungen, die Gegenstand des Projektes sind. Sie reichen jedoch über das Projekt hinaus und sollen auch nach dessen Ende weiter bearbeitet werden.
Das Projekt wird in enger Kooperation mit der Arbeitsgruppe aus der reellen algebraischen Geometrie an der Universität Regensburg bearbeitet. Ein wesentlicher Bestandteil des Projektes ist ein (während der Vorlesungszeit) wöchentliches gemeinsames Seminar beider Gruppen, das in Passau und Regensburg stattfindet.
Organisatoren: Doris Augustin, Tobias Kaiser (Universität Regensburg), Markus Schweighofer (Universität Konstanz)
Alle Vorträge finden im Raum M104 an der Universität Regensburg statt.
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