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Funktionen und Ringe in der reellen algebraischen Geometrie
Algebraische Geometrie ist die Verbindung von Algebra mit Geometrie. Algebraische Varietäten sind die geometrischen Objekte: Polynomiale Gleichungen bestimmen Teilmengen affiner Räume über beliebigen Körpern. Die algebraischen Objekte sind Ringe. Zu Varietäten gehören Ringe von Funktionen; zu Ringen definiert man Spektren, die als Verallgemeinerung der Varietäten gesehen werden. Spektren sind ein entscheidendes Bindeglied zwischen Algebra und Geometrie.
Es gibt viele verschiedene Ausprägungen algebraischer Geometrie, je nachdem auf welche Klasse von Körpern man sich bezieht. Reelle algebraische Geometrie befasst sich mit Varietäten über angeordneten, insbesondere reell abgeschlossenen Körpern. Die Anordnung ermöglicht es, Mengen nicht nur mittels Gleichungen, sondern auch durch Ungleichungen zu definieren – das Ergebnis sind semi-algebraische Mengen, eine viel größere Klasse von Mengen als die Varietäten. Die Funktionenringe tragen teilweise Ordnungen. Teilweise geordnete Ringe sind grundlegende algebraische Objekte im Kontext der reellen Geometrie.
Es gibt verschiedene Spektren: In der allgemeinen algebraischen Geometrie ist das Primspektrum oder Zariski-Spektrum eines Ringes am wichtigsten, in der reellen Geometrie ist das reelle Spektrum von ebenso großer Bedeutung. Die Elemente des Primspektrums sind die Primideale eines Ringes; die Elemente des reellen Spektrums sind die Primkegel. Die Trägerabbildung verbindet beide Spektren miteinander: Jedem Primkegel wird dessen Träger, ein Primideal, zugeordnet.
Im Projekt werden beide Spektren und ihre Verbindungen miteinander studiert:
- Wie entsprechen Eigenschaften eines Ringes den Eigenschaften seines Primspektrums? Kann man die Klasse von Ringen axiomatisch beschreiben, deren Primspektren eine gegebene Eigenschaft haben, etwa Normalität oder vollständige Normalität?
Genau dieselben Fragen über das reelle Spektrum teilweise geordneter Ringe sind nicht sinnvoll – reelle Spektren sind immer vollständig normal. Aber:
- Welche vollständig normalen Spektren sind reelle Spektren oder sind in reellen Spektren als Unterräume enthalten?
Wenn ein (teilweise geordneter) Ring mittels einer ringtheoretischen Konstruktion verändert wird, ändern sich auch die mit dem Ring verbundenen Spektren.
- Wie wirken sich ringtheoretische Konstruktionen auf die Spektren aus? Kann man allein an den Spektren zweier Ringe erkennen, wie sie als Ringe miteinander zusammen hängen?
Die Bildung konvexer Unterringe ist eine besonders wichtige und natürliche Konstruktion bei teilweise geordneten Ringen:
- Wie hängen die Primspektren und die reellen Spektren eines Ringes und eines konvexen Unterringes miteinander zusammen? Wie kann man erkennen, ob ein Ring konvexer Unterring eines andern Ringes ist?
Spektren sind ein algebraisches Konstrukt, werden aber geometrisch interpretiert. Es ist eine anspruchsvolle Aufgabe die Geometrie von Spektren zu studieren, etwa indem man Methoden der algebraischen Topologie passend umgestaltet. Man muß dafür nicht nur festlegen, mit welchen Spektren man sich befassen will, sondern auch welche Abbildungen zwischen den Spektren verwendet werden sollen. Wenn es um reelle Spektren geht, hat man eine große Wahl von verschiedenen Kategorien, die alle dieselben Objekte haben, aber unterschiedliche Abbildungen. Für topologische Studien besonders geeignet sind die reell abgeschlossenen Räume – das sind Teilmengen reeller Spektren mit einer Strukturgarbe reell abgeschlossener Ringe.
- Vorbereitend für die Entwicklung der algebraischen Topologie reeller Spektren werden die Konstruktion reell abgeschlossener Räume und ihre Eigenschaften, insbesondere die Abbildungen zwischen verschiedenen Räumen systematisch untersucht.
Eine für die intendierten Anwendungen ausreichende Allgemeinheit und der Bezug zu semi-algebraischen Mengen in der ursprünglich geometrischen Bedeutung müssen besonders beachtet werden. Kategorientheoretische Methoden spielen in der algebraischen Topologie eine große Rolle, insofern müssen die Eigenschaften der Kategorie reell abgeschlossener Räume für die Anwendung möglichst genau bekannt sein.
Die Fragestellungen beschreiben Forschungsrichtungen, die Gegenstand des Projektes sind. Sie reichen jedoch über das Projekt hinaus und sollen auch nach dessen Ende weiter bearbeitet werden.
Das Projekt wird in enger Kooperation mit der Arbeitsgruppe aus der reellen algebraischen Geometrie an der Universität Regensburg bearbeitet. Ein wesentlicher Bestandteil des Projektes ist ein (während der Vorlesungszeit) wöchentliches gemeinsames Seminar beider Gruppen, das in Passau und Regensburg stattfindet.
Gäste des DFG-Projektes
- Juli 2005: Prof. Dr. A.J. Wilkie, University of Oxford, United Kingdom
DFG-Seminar Reelle Algebraische Geometrie Regensburg/Passau
- 28.10.2005
Dr. Peter Ullrich (TU München):
Temperierte Distributionen auf semialgebraischen Mengen und das charakteristische Cauchy-Problem- 11.11.2005
Dr. Peter Ullrich (TU München):
Temperierte Distributionen auf semialgebraischen Mengen und das charakteristische Cauchy-Problem II- 18.11.2005
Dr. Peter Ullrich (TU München):
Temperierte Distributionen auf semialgebraischen Mengen und das charakteristische Cauchy-Problem III- 25.11.2005
Prof. Dr. Manfred Knebusch:
Positiv definite Kerne- 02.12.2005
Prof. Dr. Manfred Knebusch:
Definite Kerne- 09.12.2005
Prof. Dr. Manfred Knebusch:
Lösung des Momentenproblems bei kompaktem Träger- 13.01.2006
Doris Augustin:
Representations of nonnegative polynomials - geometric situation- 20.01.2006
Prof. Dr. Konrad Schmüdgen (Universität Leipzig):
Algebren von Brüchen und einige Überlegungen zur nichtkommutativen reellen algebraischen Geometrie und Positivstellensätzen- 27.01.2006
Tamara Servi:
Conjectures on the decidability of the real exponential field- 31.01.2006
Dr. Ya'acov Peterzil (University of Haifa, Israel):
Semibounded sets- 03.02.2006
Gisèle Fischer Servi (Università di Parma, Italien):
On non-monotonic logics- 07.02.2006
Dr. Igor Klep (Univerza v Ljubljana, Slowenien):
Positive Matrizenpolynome
Gäste des DFG-Projektes
DFG-Seminar Reelle Algebraische Geometrie Regensburg/Passau
- 28.04.2006
Thomas Güldenberg:
Spracherweiterungen bei reell abgeschlossenen Körper durch Dedekindschnitte- 05.05.2006
Prof. Manfred Knebusch:
Nichtnegativteiler und positiv dichte Mengen- 12.05.2006
Jose Capco:
Real Sheaf Structures of Partially Ordered Rings- 19.05.2006
Dr. Lars Brünjes:
Nonstandard Varieties- 02.06.2006
Dr. Timothy Mellor:
Hardy fields and asymptotic couples- 16.06.2006
Tobias Kaiser:
Reell abgeschlossene graduierte Körper- 20.06.2006
Dr. Piotr Kowalski (University of Oxford):
Strongly minimal structures definable in o-minimal fields- 23.06.2006
Prof. Niels Schwartz
Primspektren- 07.07.2006
Dr. Markus Schweighofer (Universität Konstanz):
Connes' Einbettungsproblem und Summen von Hermiteschen Quadraten- 18.07.2006
Dr. Pawel Goldstein (Universität Erlangen):
Stratification of gradient flow of a harmonic function- 21.07.2006
Prof. Niels Schwartz:
SV-Ringe: Ringen, deren integre Faktorringe Bewertungsringe sind
Gäste des DFG-Projektes
DFG-Seminar Reelle Algebraische Geometrie Regensburg/Passau
- 27.10.2006
Doris Augustin:
Das Membership-Problem für Präordnungen - der eindimensionale Falle- 03.11.2006
Dr. Timothy Mellor:
Model-theoretical framework for topological structures- 24.11.2006
Prof. Niels Schwartz:
Konvexe Unterringe und konvexe Erweiterungen I- 01.12.2006
Prof. Hans Delfs (FH Nürnberg):
Interaktive Beweise und Informationssicherheit- 08.12.2006
Dr. Nicolas Guzy (Université de Mons-Hainaut):
Topological differential fields- 15.12.2006
Prof. Niels Schwartz:
Konvexe Unterringe und konvexe Erweiterungen II- 18.12.2006
Prof. Niels Schwartz:
Konvexe Unterringe und konvexe Erweiterungen III- 12.01.2007
Dr. Tobias Kaiser:
Tropische Geometrie I- 19.01.2007
Dr. Tobias Kaiser:
Tropische Geometrie II- 26.01.2007
Dr. Tobias Kaiser:
Tropische Geometrie III- 02.02.2007
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonale Polynome und das Momenten Problem
Gäste des DFG-Projektes
- gewidmet Herrn Prof. Dr. Manfred Knebusch
- gefördert durch das DFG-Projekt (KN 202/5-2 und SCHW 287/18-2)
- Organisatoren: Doris Augustin, Tobias Kaiser (Universität Regensburg), Markus Schweighofer (Universität Konstanz)
- Alle Vorträge finden im Raum M104 an der Universität Regensburg statt.
Wissenschaftliches Programm:
Donnerstag, 01.03.2007
- 10:00-10:50
Doris Augustin (Universität Regensburg):
Erben von Präordnungen- 11:00-11:50
Thomas Güldenberg (Universität Regensburg):
Erben von Präordnungen- 13:00-13:50
Timothy Mellor (Universität Passau):
Definitionskörper von Präordnungen
Freitag 02.03.2007
- 10:00-10:50
Markus Schweighofer (Universität Konstanz):
Stabilität quadratischer Moduln und das Momentenproblem- 11:00-11:50
Tim Netzer (Universität Konstanz):
Stabilität bezüglich Graduierungen- 12:00-12:50
Daniel Plaumann (Universität Konstanz):
Geometrische Konstruktionen zur Stabilität
DFG-Seminar Reelle Algebraische Geometrie Regensburg/Passau:
- 11.05.2007
Thomas Güldenberg:
Erben von Delta-Typen- 18.05.2007
Dr. Tamara Servi:
On the first order theory of real exponentiation- 01.06.2007
Dr. Antongiulio Fornasiero (Universita' di Pisa):
O-minimal spectrum- 08.06.2007
Prof. Niels Schwartz:
Reell abgeschlossene Bewertungsringe- 15.06.2007
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonalpolynome I- 22.06.2007
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonalpolynome II- 29.06.2007
Prof. Manfred Knebusch:
Orthogonalpolynome III- 06.07.2007
Prof. Angus Macintyre (Queen Mary University of London):
Model theory and decidability for exponentials on various Lie algebras- 13.07.2007
Doris Augustin:
Lokal-Global-Prinzipien und Positivitätsteiler- 25.07.2007
Dr.Marcus Tressl:
p-adisch abgeschlossene Ringe
Gäste des DFG-Projektes:
DFG-Seminar Reelle Algebraische Geometrie Regensburg/Passau:
- 19.10.2007
Prof. Manfred Knebusch:
Sternoperationen und Kroneckererweiterungen- 26.10.2007
Prof. Manfred Knebusch:
Sternoperationen und Kroneckererweiterungen II- 30.11.2007
Dr. Timothy Mellor:
Proving that categories are never elementary- 21.12.2007
Dr. Vincent Astier:
Generische Zerfällung für spezielle Gruppen- 25.01.2008
Dr. Tamara Servi:
Definably complete and Baire structures
Gäste des DFG-Projektes
- Dezember 2007: Dr. Vincent Astier, Universität Konstanz
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